賃貸アパートに入居しています。エアコンを新しく取り付けたいのですが、自分で費用を負担するなら特に賃貸人の許可を得なくても取り付けて問題ないでしょうか？

賃借人が自分で費用を負担する場合でも、エアコンを設置する場合には事前に賃貸人の承諾を得てこれを行いましょう。
通常、エアコンを設置するには、室内機を固定するために建物の壁や基礎等に穴を開けたり、エアコン用のコンセントを増設したりする必要があります。
このように建物を傷つける行為を賃貸人の許可なく行うことは、賃貸借契約において禁止されているのが通常ですので、賃貸人に無断で壁に穴を開けるなどすれば大きな問題となります（賃貸借契約において、賃借人に自由に付帯設備を取り付けることを認める特約がある場合は別です。）。
また、そもそも建物の構造上の問題や設置スペース等の問題で、エアコンの設置ができない可能性もあります。
ですから、エアコンを設置する場合には、必ず事前に賃貸人に相談した上で、承諾を得るべきです。
なお、賃貸人が承諾をした場合には、賃貸人がエアコンの設置を承諾したこと、賃貸借契約終了に伴い貸室を明け渡す際のエアコンについての原状回復をどうするのか、エアコンを撤去しない場合の造作買取請求や有益費償還請求についてどうするのか等について、賃貸人と賃借人との間で取り決めた内容を文書にしておくことが望ましいといえます。