アパートに単身入居していた借主が亡くなりました。賃貸借契約は終了するのでしょうか。

賃借権も相続の対象となりますので、亡借主に相続人が居る場合には賃借権は相続人に相続されることとなります。
この場合、賃料・返還時期・用法上の特約などの諸条件は全て相続人に引き継がれます。相続人が複数いる場合には、共同相続人間で賃借権の準共有（民法264条）となり、持ち分に応じた使用収益権を有することとなります。

なお賃料請求については、原則として不可分債務（民法430条）とされており（大審院大正11年11月24日判決民集1巻670頁）、各相続人に対して持分に応じて分割した賃料額しか請求できないということはなく、各相続人の誰に対してでも、賃料全額の支払いを請求できます。