競売で土地と建物を取得しましたが、誰かが勝手に住んでいます。国に対して、その人を追い出して引き渡すように請求できますか？

競売によって競落した物件を第三者が占有している場合であっても、国や裁判所に対し、その者を退去させた上での引渡しを求めることはできません。

もっとも、競落代金の納付完了から6か月以内であれば、「引渡命令の申立て」をすることができます。
その後、裁判所が、相手方（今回のケースでは、物件を不法に占有している者）に対して審尋（意見聴取のことです。なお、不法占有であることが明らかな場合は省略されます。）を行います。

そして、裁判所から引渡し命令が発令され、それが確定すれば、執行文付与の申立てをした上で、引渡しの強制執行を申し立てることができます。

この引渡し命令の申立てをしなかった場合には、通常の民事訴訟によって、明渡しを請求しなければならなくなり、費用も時間も余計にかかってしまいます。
したがって、引渡命令の申立て手続を利用することをお勧めします。